Mengenlehre
Georg Cantor zeigte 1874, dass es verschieden große Unendlichkeiten gibt. Seine Kollegen hielten ihn für verrückt. Heute steht es in jedem Mathematikstudium. Zwei Experimente, die sein Argument nachspielen.
Zwischen 0 und 1 liegen unendlich viele Brüche. Trotzdem lassen sie sich durchnummerieren, wenn man den richtigen Weg wählt. Zeile für Zeile scheitert (die erste Zeile endet nie), diagonal klappt es.
Nummer 0
Jeder Bruch bekommt genau eine Hausnummer, und jede Hausnummer genau einen Bruch. Läuft man die Diagonalen im Zickzack ab, erreicht man jeden Bruch nach endlich vielen Schritten. Das ist eine Eins-zu-eins-Zuordnung zwischen ℕ und ℚ⁺: Es gibt „gleich viele“ natürliche Zahlen wie Brüche, obwohl zwischen zwei natürlichen Zahlen unendlich viele Brüche liegen.
Mit „Doppelte überspringen“ verschwinden Brüche wie 2/4, die denselben Wert haben wie 1/2. Die Zuordnung bleibt vollständig. Cantor nannte diese Größe von Unendlichkeit ℵ₀ (Aleph Null): abzählbar unendlich.
Jetzt die Zahlen zwischen 0 und 1 mit unendlich vielen Nachkommastellen, hier binär mit 0 und 1. Egal welche Liste jemand vorlegt: Aus ihr lässt sich immer eine Zahl bauen, die fehlt.
| r1 = 0, | … | ||||||||
| r2 = 0, | … | ||||||||
| r3 = 0, | … | ||||||||
| r4 = 0, | … | ||||||||
| r5 = 0, | … | ||||||||
| r6 = 0, | … | ||||||||
| r7 = 0, | … | ||||||||
| r8 = 0, | … | ||||||||
| ⋮ | |||||||||
| neu = 0, | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | … |
Angenommen, jemand behauptet, diese Liste enthalte alle Zahlen zwischen 0 und 1 (als Binärbrüche, unendlich lang). Klick auf die Ziffern, ändere die Liste, wie du willst.
Die Zahl „neu“ entsteht aus der Diagonale, jede Ziffer umgedreht. Sie unterscheidet sich von der ersten Zahl an der ersten Stelle, von der zweiten an der zweiten, von der k-ten an der k-ten. Sie steht also in keiner Zeile. Jede Liste hat eine Lücke, und deshalb sind die reellen Zahlen nicht abzählbar: Es gibt echt mehr davon als natürliche Zahlen. Cantor 1891. Diese größere Unendlichkeit heißt 𝔠, die Mächtigkeit des Kontinuums.
Abzählbar ist die kleinste Unendlichkeit. Darüber wird es nicht nur größer, es hört auch nie auf.
Ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern, alle belegt. Ein neuer Gast kommt. Kein Problem: Jeder Gast zieht ein Zimmer weiter, Zimmer 1 wird frei. Ein Bus mit unendlich vielen Gästen kommt: Jeder Gast zieht in das Zimmer mit der doppelten Nummer, alle ungeraden Zimmer werden frei. Unendlich viele Busse mit je unendlich vielen Gästen: Das ist genau das Zickzack-Experiment oben. Erst ein Bus mit „reell vielen“ Gästen sprengt das Hotel.
Gibt es eine Unendlichkeit zwischen ℵ₀ und 𝔠? Cantor vermutete: nein. Das ist die Kontinuumshypothese. Kurt Gödel (1940) und Paul Cohen (1963) zeigten zusammen etwas Verstörendes: Mit den üblichen Axiomen der Mathematik lässt sich die Frage weder beweisen noch widerlegen. Sie ist unentscheidbar. Man darf sich aussuchen, in welcher Mathematik man leben will.