Was du hier siehst
Jeder Bildpunkt steht für eine Zahl c. Mit ihr spielen wir ein einfaches Spiel: Starte bei null. Nimm die Zahl mal sich selbst und zähl c dazu. Mit dem Ergebnis machst du dasselbe wieder, und wieder, und wieder. Bleiben die Ergebnisse klein, gehört c zur Mandelbrot-Menge und der Punkt wird schwarz. Laufen sie davon, bekommt der Punkt eine Farbe: je später die Flucht, desto weiter hinten in der Farbreihe.
Die Zahlen sind dabei komplexe Zahlen, also Punkte in der Ebene statt auf einer Linie. Mehr braucht es nicht. Eine Regel, die in eine Zeile passt, und heraus kommt die wohl komplizierteste Figur der Mathematik.
Die schwarze Fläche ist endlich. Sie passt in einen Kreis mit Radius 2 und misst rund 1,5066 Flächeneinheiten. Der Rand dagegen ist unendlich lang. Er ist so stark verknittert, dass Mathematiker ihm die Dimension 2 zuschreiben, dieselbe wie einer Fläche. Bewiesen hat das Mitsuhiro Shishikura. Ein Rand, der sich so breit macht wie eine Fläche.
Und trotzdem hängt alles zusammen. Jede der unendlich vielen Mini-Kopien, die du beim Zoomen findest, ist über hauchdünne Fäden mit dem großen Körper verbunden. Das bewiesen Adrien Douady und John Hubbard 1982. Benannt ist die Menge nach Benoît Mandelbrot, der sie 1980 bei IBM am Computer sichtbar machte. In Deutschland heißt sie wegen ihrer Form Apfelmännchen.