Was du hier siehst
Ein Blatt Papier hat zwei Seiten. Eine Kugel auch: innen und außen. Die Kleinsche Flasche hat nur eine. Wenn eine Ameise auf ihr losläuft, kommt sie irgendwann an ihrem Startpunkt an, steht aber „auf der anderen Seite“, ohne je über einen Rand geklettert zu sein. Die Flasche hat auch keinen Rand.
Felix Klein beschrieb sie 1882. Man baut sie gedanklich so: Nimm ein Rechteck, klebe zwei gegenüberliegende Kanten zu einem Schlauch zusammen. Beim Torus würdest du die beiden Schlauchenden jetzt einfach verbinden. Für die Kleinsche Flasche drehst du ein Ende vorher um, sodass es von innen an das andere anschließt. Im dreidimensionalen Raum geht das nicht, ohne dass der Hals die Wand durchstößt. In vier Dimensionen wäre Platz genug. Die Durchdringung, die du im Modell siehst, ist also ein Artefakt unserer drei Dimensionen, nicht eine Eigenschaft der Flasche.
Die Färbung im Modell ist der Beweis zum Anschauen. Wir färben jede Vorderseite Cyan und jede Rückseite Gold. Beim Torus geht das auf. Bei der Flasche entsteht zwangsläufig eine Naht, an der Cyan auf Gold trifft. Solche Flächen heißen nicht orientierbar.